تكامل الخط المتجه العام Calculator
تحدد هذه الصيغة تكامل الخط لحقل متجه على طول منحنى C ذي معلمات عامة، وتمثل كميات مثل الشغل الذي تبذله قوة.
Formula first
Overview
يُقيّم التكامل تراكم حقل متجه على طول مسار عن طريق أخذ حاصل الضرب النقطي للحقل مع متجه المماس للمنحنى. من خلال تحديد معلمات المنحنى كـ r(t)، تُختزل المشكلة إلى تكامل محدد قياسي فيما يتعلق بالمعلمة t. هذه الطريقة أساسية لحساب التدفق، والدوران، والشغل في الحقول المحافظة أو غير المحافظة.
Symbols
Variables
F = Vector Field, r(t) = Parameterization
Apply it well
When To Use
When to use: استخدم هذه الصيغة عندما تحتاج إلى حساب الشغل الذي تبذله حقل قوة على طول مسار معين أو دوران تدفق سائل على طول منحنى.
Why it matters: إنها تشكل الأساس للمفاهيم الفيزيائية مثل نقل الطاقة، والجهد الكهربائي، وديناميات السوائل، وربط حقول المتجهات المحلية بالنتائج العالمية التي تعتمد على المسار.
Avoid these traps
Common Mistakes
- نسيان الضرب في مشتق تحديد المعلمات (r'(t)) داخل التكامل.
- الفشل في استبدال المتغيرات المعلمة في حقل المتجهات F، وترك x و y و z كمتغيرات مستقلة.
One free problem
Practice Problem
احسب الشغل الذي يبذله حقل القوة F = <y, x> على طول المنحنى r(t) = <cos(t), sin(t)> لـ t من 0 إلى pi.
Hint: احسب r'(t) = <-sin(t), cos(t)> واضربها نقطيًا في F(r(t)) = <sin(t), cos(t)>.
The full worked solution stays in the interactive walkthrough.
References
Sources
- Stewart, J. (2015). Calculus: Early Transcendentals (8th ed.). Cengage Learning.