نظرية كايلي-هاميلتون Calculator
تنص على أن كل مصفوفة مربعة تحقق معادلتها المميزة الخاصة.
Formula first
Overview
تؤكد نظرية كايلي-هاميلتون أن كل مصفوفة مربعة تحقق معادلتها المميزة الخاصة، مما يعني أنه إذا كانت p(λ) هي الدالة متعددة الحدود المميزة للمصفوفة A، فإن p(A) ينتج مصفوفة صفرية. تربط هذه النتيجة الأساسية بين جبر المصفوفات ونظرية الدوال متعددة الحدود، مما يوفر أداة قوية لتحليل المصفوفات.
Apply it well
When To Use
When to use: تطبق هذه النظرية عند حساب قوى كبيرة لمصفوفة أو إيجاد معكوس مصفوفة غير فردية دون تقليل الصفوف. كما تستخدم لتبسيط الدوال ذات القيم المصفوفية ولإيجاد الدالة متعددة الحدود الدنيا لعامل خطي.
Why it matters: إنها تقلل بشكل كبير من التعقيد الحسابي في مجالات مثل نظرية التحكم ومعالجة الإشارات عن طريق تحويل أسس المصفوفات إلى مجموعات خطية من القوى الدنيا. إنها حجر الزاوية في شكل جوردان القانوني وغيره من التحللات الهيكلية في الجبر الخطي.
Avoid these traps
Common Mistakes
- تطبيق النظرية على مصفوفات غير مربعة.
- النسيان ضرب الحد الثابت بمصفوفة الوحدة عند تقييم p(A).
One free problem
Practice Problem
بالنظر إلى مصفوفة 2×2 A بعناصر قطرية m11 = 5 و m22 = 3، تنص نظرية كايلي-هاميلتون على أن A تحقق المعادلة A² - kA + dI = 0. أوجد قيمة k، التي تتوافق مع أثر المصفوفة.
Hint: أثر المصفوفة هو مجموع عناصرها القطرية ويظهر كمعامل سالب للحد λ في الدالة متعددة الحدود المميزة.
The full worked solution stays in the interactive walkthrough.
References
Sources
- Wikipedia: Cayley-Hamilton theorem
- Linear Algebra and Its Applications (5th ed.) by David C. Lay
- Introduction to Linear Algebra (5th ed.) by Gilbert Strang
- Linear Algebra and Its Applications by David C. Lay
- Introduction to Linear Algebra by Gilbert Strang
- Linear Algebra and Its Applications, David C. Lay